第 1 题

在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（ ）。

{{ select(1) }}

• ls
• cd
• cp
• all

第 2 题

二进制数 $00101010_{2}$ 和 $00010110_{2}$ 的和为（）。

{{ select(2) }}

• $00111100_{2}$
• $01000000_{2}$
• $00111100_{2}$
• $01000010_{2}$

第 3 题

在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（ ）引发错误。

{{ select(3) }}

• 系统分配的栈空间溢出
• 系统分配的队列空间溢出
• 系统分配的链表空间溢出
• 系统分配的堆空间溢出

第 4 题

以下排序方法中，（ ）是不稳定的。

{{ select(4) }}

• 插入排序
• 冒泡排序
• 堆排序
• 归并排序

第 5 题

以比较为基本运算，对于 $2n$ 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比 较次数为（ ）。

{{ select(5) }}

• $4n-2$
• $3n+1$
• $3n-2$
• $2n+1$

第 6 题

现有一个地址区间为 $0\sim 10$ 的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储 （到 $10$ 冲突了就从 $0$ 开始往后），现在要依次存储 $(0,1,2，3,4,5,6,7)$，哈希函数为 $h(x)=x^{2} \bmod {11}$。请问 $7$ 存储在哈希表哪个地址中（ ）。

{{ select(6) }}

• 5
• 6
• 7
• 8

第 7 题

$G$ 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 $36$ 条边，则该图至少有（ ）个点。

{{ select(7) }}

• 8
• 9
• 10
• 11

第 8 题

令根结点的高度为 $1$，则一棵含有 $2021$ 个结点的二叉树的高度至少为（ ）。

{{ select(8) }}

• 10
• 11
• 12
• 2021

第 9 题

前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（ ）。

{{ select(9) }}

• 只有 $1$ 个点的二叉树
• 根结点没有左子树的二叉树
• 非叶子结点只有左子树的二叉树
• 非叶子结点只有右子树的二叉树

第 10 题

定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 $\texttt{DACFEB}$ 变为 $\texttt{ABCDEF}$ 最少需要 ( ) 次上述操作。

{{ select(10) }}

• 7
• 8
• 9
• 6

第 11 题

有如下递归代码

solve(t, n):
  if t=1 return 1
  else return 5*solve(t-1,n) mod n

则 solve(23,23) 的结果为（ ）。

{{ select(11) }}

• 1
• 7
• 12
• 22

第 12 题

斐波那契数列的定义为： $F_{1}=1$，$F_{2}=1$，$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$$(n\geq 3)$ 。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 $n$ 项，其时间复杂度为（ ）。

F(n):
  if n<=2 return 1
  else return F(n-1) + F(n-2)

{{ select(12) }}

• $O(n)$
• $O(n^{2})$
• $O(2^{n})$
• $O(n\ log\ n)$

第 13 题

有 $8$ 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（ ）种方案。

{{ select(13) }}

• 36
• 48
• 54
• 64

第 14 题

设一个三位数 $n= \overline{abc}$， $a, b, c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a$、 $b$、 $c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（ ）个。

{{ select(14) }}

• 81
• 120
• 165
• 216

第 15 题

有如下的有向图，节点为 $A ,B , \cdots , J$, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 $A$ 到节点 $J$ 的最短路径长度为（ ）。

{{ select(15) }}

• 16
• 19
• 20
• 22

第 16 题

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √ ，错误填 × ；除特 殊说明外，判断题 $1.5$ 分，选择题 $3$ 分，共计 $40$ 分）

(1)

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

判断题

16. 将第 21 行中 t 的类型声明从 int 改为 double， 不会 影响程序运行的结果。（）

17. 将第 26、27 行中的 / sqrt(t) / 2替换为/ 2 / sqrt(t)，不会影响程序运行的结果。（ ）

18. 将第 28 行中的 x * x 改成 sq(x)、y * y 改成 sq(y)，不会影响程序运行的结果。（ ）

19. （2 分） 当输入为 0 0 0 1 1 0 0 1 时，输出为 1.3090 ( )

单选题

20. 当输入为 1 1 1 1 1 1 1 2 时，输出为（ ）。
    A. 3.1416
    B. 6.2832
    C. 4.7124
    D. 4.1888

21. （2.5 分）这段代码的含义为（ ）。
    A. 求圆的面积并
    B. 求球的体积并
    C. 求球的体积交
    D. 求椭球的体积并

请选择

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

{{ select(20) }}

• 3.1416
• 6.2832
• 4.7124
• 4.1888

{{ select(21) }}

• 求圆的面积并
• 求球的体积并
• 求球的体积交
• 求椭球的体积并

第 17 题

(2)

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

判断题

22. 程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（ ）

23. 第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。（ ）

24. 当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。( )

单选题

25. solve1(1, n) 的时间复杂度为（ ）。
    A. $O(\log n)$
    B. $O(n)$
    C. $O(n \log n)$
    D. $O(n^{2})$

26. solve2(1, n) 的时间复杂度为（ ）。
    A. $O(\log n)$
    B. $O(n)$
    C. $O(n \log n)$
    D. $O(n^{2})$

27. 当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（ ）。
    A. 13
    B. 17
    C. 24
    D. 12

请选择

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

{{ select(25) }}

• $O(\log \ n)$
• $O(n)$
• $O(n \log \ n)$
• $O(n^{2})$

{{ select(26) }}

• $O(\log \ n)$
• $O(n)$
• $O(n \log \ n)$
• $O(n^{2})$

{{ select(27) }}

• 13
• 17
• 24
• 12

第 18 题

(3)

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

判断题

28. 程序总是先输出 一行 一个整数，再输出 一行 一个字符串。（ ）

29. 对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入0 str1，得到输出的第二行记为 str2 再执行程序输入1 str2，输出的第二行必为 str1。（ ）

30. 当输入为1 SGVsbG93b3JsZA==时，输出的第二行为HelloWorld。( )

单选题

31. 设输入字符串长度为 $n$，encode 函数的时间复杂度为（ ）。
    A. $O( \sqrt{n})$
    B. $O(n)$
    C. $O(n\log n)$
    D. $O(n^2)$

32. 输出的第一行为（ ）。
    A. 0xff
    B. 255
    C. 0xFF
    D. -1

33. （4 分） 当输入为 0 CSP2021csp 时，输出的第二行为（ ）。
    A. Q1NQMjAyMWNzcAv=
    B. Q1NQMjAyMGNzcA==
    C. Q1NQMjAyMGNzcAv=
    D. Q1NQMjAyMWNzcA==

请选择

{{ select(28) }}

• 正确
• 错误

{{ select(29) }}

• 正确
• 错误

{{ select(30) }}

• 正确
• 错误

{{ select(31) }}

• $O( \sqrt{n})$
• $O(n)$
• $O(n\log n)$
• $O(n^2)$

{{ select(32) }}

• 0xff
• 255
• 0xFF
• -1

{{ select(33) }}

• Q1NQMjAyMWNzcAv=
• Q1NQMjAyMGNzcA==
• Q1NQMjAyMGNzcAv=
• Q1NQMjAyMWNzcA==

第 19 题

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

(1) （魔法数字） 小 H 的魔法数字是 $4$。给定 $n$， 他希望用若干个 $4$ 进行若干次加法、减法和整除运算得到 $n$。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 $M = 10000$ 的正整数。求至少可能用到多少个 $4$。

例如，当 $n=2$ 时，有 $2=\dfrac{4 + 4}{4}$，用到了 $3$ 个 $4$，是最优方案。

试补全程序。

34. ①处应填（ ）
    A. F[4] = 0
    B. F[1] = 4
    C. F[1] = 2
    D. F[4] = 1

35. ②处应填（ ）
    A. !Vis[n]
    B. r < n
    C. F[M] == INT_MAX
    D. F[n] == INT_MAX

36. ③处应填（ ）
    A. F[i] == r
    B. !Vis[i] && F[i] == r
    C. F[i] < F[x]
    D. !Vis[i] && F[i] < F[x]

37. ④处应填（ ）
    A. F[i] < F[x]
    B. F[i]<=r
    C. Vis[i]
    D. i <= x

请选择

{{ select(34) }}

• F[4] = 0
• F[1] = 4
• F[1] = 2
• F[4] = 1

{{ select(35) }}

• !Vis[n]
• r < n
• F[M] == INT_MAX
• F[n] == INT_MAX

{{ select(36) }}

• F[i] == r
• !Vis[i] && F[i] == r
• F[i] < F[x]
• !Vis[i] && F[i] < F[x]

{{ select(37) }}

• F[i] < F[x]
• F[i]<=r
• Vis[i]
• i <= x

第 20 题

(2) （ RMQ 区间最值问题） 给定序列 $a_0,\cdots,a_{n-1},$ $m$ 次询问，每次询问给定 $l,r$，求 $\max \{a_l,\ ...,a_r\}$。

为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians ，其时间复杂度为 $O(n+m)$ ，步骤如下：

• 建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。

• 对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。

• 注意新的问题为 $\pm1$ RMQ，即相邻两点的深度差一定为 $1$。

下面解决这个 $\pm1$ RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：

• 设 $t$ 为 Euler 序列长度。取 $b=\lceil \frac{\log_2 t}{2} \rceil$ 将序列每 $b$ 个分为一大块， 使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 $O(\frac{t}{b}\log t)=O(n)$。

• （重点） 对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 $O(1)$ 的算法。由于差分数组 $2^{b-1}$ 种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 $O(b2^b)$，不超过 $O(n)$。

• 最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。

试补全程序。

38. ①处应填（ ）
    A. p->son[0] = S[top--]
    B. p->son[1] = S[top--]
    C. S[top--]->son[0] = p
    D. S[top--]->son[1] = p

39. ②处应填（ ）
    A. p->son[0] = S[top]
    B. p->son[1] = S[top]
    C. S[top]->son[0] = p
    D. S[top]->son[1] = p

40. ③处应填（ ）
    A. x->dep < y->dep
    B. x < y
    C. x->dep > y->dep
    D. x->val < y->val

41. ④处应填（ ）
    A. A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0]
    B. A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val
    C. A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1]
    D. A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

42. ⑤处应填（ ）
    A. v += (S >> i & 1) ? -1 : 1
    B. v += (S >> i & 1) ? 1 : -1
    C. v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1
    D. v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

43. ⑥处应填（ ）
    A. (Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
    B. Dif[p]
    C. (Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
    D. (Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)

请选择

{{ select(38) }}

• p->son[0] = S[top--]
• p->son[1] = S[top--]
• S[top--]->son[0] = p
• S[top--]->son[1] = p

{{ select(39) }}

• p->son[0] = S[top]
• p->son[1] = S[top]
• S[top]->son[0] = p
• S[top]->son[1] = p

{{ select(40) }}

• x->dep < y->dep
• x < y
• x->dep > y->dep
• x->val < y->val

{{ select(41) }}

• A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0]
• A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val
• A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1]
• A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

{{ select(42) }}

• v += (S >> i & 1) ? -1 : 1
• v += (S >> i & 1) ? 1 : -1
• v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1
• v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

{{ select(43) }}

• (Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
• Dif[p]
• (Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
• (Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)