YBTJ1268 【例9.12】完全背包问题

1、完全背包问题

有一个容量为V的背包和N种物品，第i种物品的体积是c[i]，价值是w[i]。每种物品都有无限件可用，求将哪些物品装入背包使得价值总和最大。

2、状态转移方程

对于第i件物品，01背包的关键在于取或不取，而完全背包就有取0件、1件、...k件（k<=v/c[i]）的选择，因此状态方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*c[i]] + k*w[i]),  0<=k<=j/c[i]

3、物品拆分

把第i件物品拆分成多个物品，体积为c[i]*2^k，价值为w[i]*2^k，其中k满足c[i]*2^k<=v，这样，完全背包问题就转化成了01背包问题，即每个物品只能选或者不选。

这样拆分的依据：对于第i件物品，不管选择几件，都可以用若干个2^k的和。例如：

0 = 都不选
1 = 2^0
2 = 2^1
3 = 2^1 + 2^0

4、一维状态

类似01背包的一维状态，区别在于内层循环（容量）为正向c[i]..v。

for 1..n
  for c[i] .. v
    dp[j]=max(dp[j], dp[j-c[i]]+w[i])

5、装满问题

如果题目要求“恰好装满”，和01背包一样，只需要把除dp[0][0]外的其它dp[0][j]都初始化为-inf即可。

在某个状态计算时，假如装不满的结果是-inf，当计算max时，就会被淘汰出去。