插入排序

定义

插入排序（英语：Insertion sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理为将待排列元素划分为「已排序」和「未排序」两部分，每次从「未排序的」元素中选择一个插入到「已排序的」元素中的正确位置。

一个与插入排序相同的操作是打扑克牌时，从牌桌上抓一张牌，按牌面大小插到手牌后，再抓下一张牌。

性质

稳定性

插入排序是一种稳定的排序算法。

时间复杂度

插入排序的最优时间复杂度为 $O(n)$，在数列几乎有序时效率很高。

插入排序的最坏时间复杂度和平均时间复杂度都为 $O(n^2)$。

代码实现

C++

// C++ Version
void insertion_sort(int* a, int n) {
  // 对 a[1],a[2],...,a[n] 进行插入排序
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    int key = a[i];
    int j = i - 1;
    while (j > 0 && a[j] > key) {
      a[j + 1] = a[j];
      --j;
    }
    a[j + 1] = key;
  }
}

计数排序

• P420 分数线划定
• CSPJ2020B 直播获奖

定义

计数排序（英语：Counting sort）是一种线性时间的排序算法。

过程

计数排序的工作原理是使用一个额外的数组 $C$，其中第 $i$ 个元素是待排序数组 $A$ 中值等于 $i$ 的元素的个数，然后根据数组 $C$ 来将 $A$ 中的元素排到正确的位置。^[1]

它的工作过程分为三个步骤：

1. 计算每个数出现了几次；
2. 求出每个数出现次数的 前缀和；
3. 利用出现次数的前缀和，从右至左计算每个数的排名。

计算前缀和的原因

阅读本章内容只需要了解前缀和概念即可

直接将 $C$ 中正数对应的元素依次放入 $A$ 中不能解决元素重复的情形。

我们通过为额外数组 $C$ 中的每一项计算前缀和，结合每一项的数值，就可以为重复元素确定一个唯一排名：

额外数组 $C$ 中每一项的数值即是该 key 值下重复元素的个数，而该项的前缀和即是排在最后一个的重复元素的排名。

如果按照 $A$ 的逆序进行排列，那么显然排序后的数组将保持 $A$ 的原序（相同 key 值情况下），也即得到一种稳定的排序算法。

性质

稳定性

计数排序是一种稳定的排序算法。

时间复杂度

计数排序的时间复杂度为 $O(n+w)$，其中 $w$ 代表待排序数据的值域大小。

代码实现

C++

// C++ Version
const int N = 100010;
const int W = 100010;

int n, w, a[N], cnt[W], b[N];

void counting_sort() {
  memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
  for (int i = 1; i <= n; ++i) ++cnt[a[i]];
  for (int i = 1; i <= w; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];
  for (int i = n; i >= 1; --i) b[cnt[a[i]]--] = a[i];
}

参考资料与注释

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1. 计数排序 - 维基百科，自由的百科全书 ↩︎