枚举优化

1、枚举与数据范围

在noi竞赛中，一般规定数据范围从小到大，例如：

30%的数据：n <= 1,000

60%的数据：n <= 100,000

100%的数据：n <= 10,000,000

入门组有时候对数据规模要求不大，直接枚举往往就能拿到所有的分数

提高组枚举往往只能满足30%的数据，而对于更多的数据，枚举会由于性能太差导致超时。

注意： 如果每道题都能通过枚举算法拿到30分，肯定能拿到奖项的哦！！！

2、优化思路

维度、状态函数、判定函数等三个环节都可以优化。

根据乘法原理，总运算次数为维度数 * 状态函数里的运算次数 + 维度数 * 判定函数里的运算次数，如果状态函数里有循环运算、或者判定函数里有循环运算，总运算次数就会比较大。

可能的优化点：

• 减少维度、压缩维度区间。（剪枝）
• 直接压缩状态区间（二分）。
• 通过预定义去掉状态映射、判定、求解里的循环（预定义）。
• 状态递推，由之前的状态运算得到（动态规划）。

3、比较常用的技巧有：

• 桶数组
• 前缀和
• 差分
• 二分
• 数学分析
• ...

3.1 桶数组

当需要对某个状态判定是否存在、次数、排序的时候，如果状态空间在某个范围以内，就可以使用桶数组。

例题
YBTJ1130 找第一个只出现一次的字符

又例如砝码称重题目（砝码称重 - whoj）中，总重量<=1000克，就可以用to[1005]作为桶数组，下标表示某个总重量，初始值为0表示不能被砝码组合而成，值为1表示能被砝码组合而成。

于是，枚举过程就可以分成两个部分：

第一部分：预处理，通过筛法把所有可以组合的重量都设置到桶数组里，值为1。 第二部分：枚举，枚举桶数组，对值为1的进行计数。

前缀和与差分

3.2 前缀和

前缀和指对于序列计算前n项的和，例如对于序列a[]，定义前缀和s[i]=a[1]+...+a[i]，在计算前缀和的时候可以通过递推：

for(...)
  s[i] = s[i-1] + a[i];

也可以直接替换原序列：

for(...)
  a[i] += a[i-1];

前缀和是一个强力的预处理工具，主要用来求区间和，例如求序列a里面［L, R］区间的和，就可以通过前缀和快速求解：

sum = s[R] - s[L-1];

3.3 差分序列

差分序列：对于序列a[]，定义d[i] = a[i] - a[i-1]。

差分序列可以递推生成：

for(...)
  d[i] = a[i] - a[i-1];

也可以直接覆盖原序列：

for(int i=n; i>=1; i--)//注意大到小
  a[i] -= a[i-1];

差分序列是前缀和的反作用，对于序列a[]、前缀和s[]、差分序列d[]：

a是s的差分序列，d是a的差分序列 s是a的前缀和，a是d的前缀和 简单的说，对序列a的差分序列d求前缀和，就回到了a。

在预处理里，差分序列主要用来进行区间操作，例如：对序列a进行区间操作，对[L, R]内的每个元素都加上x。

• 朴素方法－循环操作：

for(int i=L; i<=R; i++) a[i] += x;

• 差分方法： 1、先求差分 2、对差分做两端操作 d[L] += x; d[R+1] -= x; 3、前缀和算回原序列

for(...) a[i] = a[i-1] + d[i];

当有多个区间操作时，差分＋前缀和具备巨大的优势。

3.4 二分求解

如果状态对于某个判定（例如check(x)）具有单调性，比如说能提炼出以下的特征：

• 假设check(x)为真，则比x大（或小）的都为真。
• 假设check(x)为假，则比x小（或大）的都为假。

这样就可以使用二分来快速逼近，因为每次判定都可以排除掉一半的状态，这也是一种剪枝技巧。

二分的具体细节会在专门知识点里描述。

3.5 数学分析

数学分析一般是指对状态进行数学运算，压缩状态空间，以减少枚举次数的一种方法。

例如－求正浮点数x最近（一样近取小的）的整数：

• 朴素方法：枚举1..n
• 数学分析法-四舍五入公式：

int k = x + 0.5 - 1e-9;

数学分析法没有一概而论，一般都是针对枚举的维度、状态、维度与状态之间的关系等进行深入分析，挖掘出状态区间的规律，最后达到剪枝的目的。

例题
abc343c C - 343

练习题
WHJ2024A 三角形个数(triangle)